Vanligt fel: Använder cos när motstående är inblandad.

Cos använder NÄRLIGGANDE / hypotenusa. Motstående hör till sin. Minnesregel SOH-CAH-TOA: Sin Opposite Hypotenuse, Cos Adjacent Hypotenuse, Tan Opposite Adjacent.

Matte 2 — Geometri

Trigonometri i rätvinkliga trianglar

Sin, cos och tan i rätvinkliga trianglar. Lös triangelsidor och vinklar med exakta värden 30°, 45°, 60°.

Centralt innehåll · ämnesplan Matematik 1

Trigonometri i rätvinkliga trianglar med exakta värden för 30°, 45° och 60°.

Grunderna

Begrepp och regler

Sinus, cosinus, tangens

I en rätvinklig triangel: sin = motstående/hypotenusa, cos = närliggande/hypotenusa, tan = motstående/närliggande.

sin v = \frac{motst.}{hyp.}, cos v = \frac{n a ¨ rl.}{hyp.}, tan v = \frac{motst.}{n a ¨ rl.}

Exakta värden — 30°/60°

sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tan 30° = 1/√3.

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}, cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

Exakta värden — 45°

sin 45° = cos 45° = 1/√2 = √2/2. tan 45° = 1.

sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

Minnesregel SOH-CAH-TOA

Sinus = Opposite/Hypotenuse. Cosinus = Adjacent/Hypotenuse. Tangens = Opposite/Adjacent.

Metod

Så här löser du

1Identifiera den räta vinkeln och vilken vinkel v du arbetar med.
2Markera motstående (mot v), närliggande (vid v men inte hypotenusa) och hypotenusan.
3Välj rätt funktion (sin/cos/tan) baserat på vilka två sidor du har/söker.
4Sätt in värden och lös ut den okända.
5Kontrollera storleksordningen — sidor mindre än hypotenusan, sin/cos mellan 0 och 1.

Räknat exempel

Huvudexempel

Problem

En rätvinklig triangel har en vinkel på 30° och hypotenusan 10 cm. Hur lång är den motstående kateten?

Steg för steg

1
Söker motstående till 30°. Hypotenusan känd → använd sin.
sin v = motstående / hypotenusa.
2
$sin 3 0^{\circ} = \frac{x}{10}$
Sätt in formeln.
3
$\frac{1}{2} = \frac{x}{10}$
Exakt värde sin 30° = 1/2.
4
$x = 5 cm$
Multiplicera båda leden med 10.

Svar

x = 5 cm

Den motstående kateten är 5 cm.

Rimlighet: Sin 30° = 1/2 betyder att motstående är halva hypotenusan. 10/2 = 5 ✓.

Testa dig själv

Quiz

Ett kort quiz på trigonometri i rätvinkliga trianglar, fem frågor.

Starta quiz →

Öva

Testa själv

Övningsexempel, försök själv

I en rätvinklig triangel är en vinkel 45° och en katet 7 cm. Hur lång är den andra kateten?

Undvik fällorna

Vanliga fel

Fel

Använder cos när motstående är inblandad.

Rätt

Cos använder NÄRLIGGANDE / hypotenusa. Motstående hör till sin.

Varför: Minnesregel SOH-CAH-TOA: Sin Opposite Hypotenuse, Cos Adjacent Hypotenuse, Tan Opposite Adjacent.

Fel

Tar sin/cos/tan på en triangel som inte är rätvinklig.

Rätt

Definitionen ovan gäller bara rätvinkliga trianglar. Annars: sinussatsen eller cosinussatsen (Matte 3).

Varför: Sin/cos/tan via förhållanden mellan sidor är definierat bara för rätvinkliga trianglar.

Kunskapstrappan

← Repetera grunden (Gymnasiet)

Geometri — Pythagoras, area, volym

Pythagoras sats, vinklar, area, omkrets och volym på Matte 1-nivå. Inkluderar tillämpningar.

Nästa nivå (Gymnasiet) →

Trigonometri och enhetscirkeln

Enhetscirkeln, sin/cos/tan för alla vinklar (även stora och negativa), trigonometriska ekvationer och radianer.

Följ mig för fler genomgångar

YouTube TikTok