Vanligt fel: Använder cos när motstående är inblandad.

Cos använder NÄRLIGGANDE / hypotenusa. Motstående hör till sin. Minnesregel SOH-CAH-TOA: Sin Opposite Hypotenuse, Cos Adjacent Hypotenuse, Tan Opposite Adjacent.

📐

📐 Matte 2 — Geometri

Trigonometri i rätvinkliga trianglar

Sin, cos och tan i rätvinkliga trianglar. Lös triangelsidor och vinklar med exakta värden 30°, 45°, 60°.

🎬 Video kommer. Genomgång planeras — följ kanalen.

Centralt innehåll – ämnesplan Matematik 1

Trigonometri i rätvinkliga trianglar med exakta värden för 30°, 45° och 60°.

📖 Begrepp och regler

Sinus, cosinus, tangens

I en rätvinklig triangel: sin = motstående/hypotenusa, cos = närliggande/hypotenusa, tan = motstående/närliggande.

sin v = \frac{motst.}{hyp.}, cos v = \frac{n a ¨ rl.}{hyp.}, tan v = \frac{motst.}{n a ¨ rl.}

Exakta värden — 30°/60°

sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tan 30° = 1/√3.

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}, cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

Exakta värden — 45°

sin 45° = cos 45° = 1/√2 = √2/2. tan 45° = 1.

sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

Minnesregel SOH-CAH-TOA

Sinus = Opposite/Hypotenuse. Cosinus = Adjacent/Hypotenuse. Tangens = Opposite/Adjacent.

🪜 Så här löser du

1Identifiera den räta vinkeln och vilken vinkel v du arbetar med.
2Markera motstående (mot v), närliggande (vid v men inte hypotenusa) och hypotenusan.
3Välj rätt funktion (sin/cos/tan) baserat på vilka två sidor du har/söker.
4Sätt in värden och lös ut den okända.
5Kontrollera storleksordningen — sidor mindre än hypotenusan, sin/cos mellan 0 och 1.

🧮 Huvudexempel

Problem

En rätvinklig triangel har en vinkel på 30° och hypotenusan 10 cm. Hur lång är den motstående kateten?

Steg-för-steg-lösning

1
Söker motstående till 30°. Hypotenusan känd → använd sin.
↳ sin v = motstående / hypotenusa.
2
$sin 3 0^{\circ} = \frac{x}{10}$
↳ Sätt in formeln.
3
$\frac{1}{2} = \frac{x}{10}$
↳ Exakt värde sin 30° = 1/2.
4
$x = 5 cm$
↳ Multiplicera båda leden med 10.

Svar

x = 5 cm

Den motstående kateten är 5 cm.

✓ Rimlighet: Sin 30° = 1/2 betyder att motstående är halva hypotenusan. 10/2 = 5 ✓.

📝 Quiz – testa dig själv

Ta ett kort quiz på trigonometri i rätvinkliga trianglar – fem frågor.

Starta quiz →

✍️ Testa själv

Övningsexempel — försök själv

I en rätvinklig triangel är en vinkel 45° och en katet 7 cm. Hur lång är den andra kateten?

⚠️ Vanliga fel

✗ Fel

Använder cos när motstående är inblandad.

✓ Rätt

Cos använder NÄRLIGGANDE / hypotenusa. Motstående hör till sin.

Varför: Minnesregel SOH-CAH-TOA: Sin Opposite Hypotenuse, Cos Adjacent Hypotenuse, Tan Opposite Adjacent.

✗ Fel

Tar sin/cos/tan på en triangel som inte är rätvinklig.

✓ Rätt

Definitionen ovan gäller bara rätvinkliga trianglar. Annars: sinussatsen eller cosinussatsen (Matte 3).

Varför: Sin/cos/tan via förhållanden mellan sidor är definierat bara för rätvinkliga trianglar.

🪜 Kunskapstrappan

← Repetera grunden (Gymnasiet)

📐Geometri — Pythagoras, area, volym

Pythagoras sats, vinklar, area, omkrets och volym på Matte 1-nivå. Inkluderar tillämpningar.

Nästa nivå (Gymnasiet) →

🌀Trigonometri och enhetscirkeln

Enhetscirkeln, sin/cos/tan för alla vinklar (även stora och negativa), trigonometriska ekvationer och radianer.

← Föregående

Kvadrerings- och konjugatregeln

Nästa →

Logaritmer

← Tillbaka till alla moment

Följ mig för fler genomgångar

YouTube TikTok