Vanligt fel: Skriver att sin x = 1/2 har bara EN lösning i [0, 2π].

Två lösningar: x = π/6 och x = 5π/6 (sin är symmetrisk runt π/2). Enhetscirkeln visar att sin = 1/2 inträffar både i första och andra kvadranten.

Matte 4 — Trigonometri

Trigonometri och enhetscirkeln

Enhetscirkeln, sin/cos/tan för alla vinklar (även stora och negativa), trigonometriska ekvationer och radianer.

Centralt innehåll · ämnesplan Matematik 1

Egenskaper hos trigonometriska funktioner. Trigonometriska ekvationer. Radianer som vinkelmått.

Grunderna

Begrepp och regler

Enhetscirkeln

Cirkel med radie 1 i koordinatsystem. För vinkel v är (cos v, sin v) punkten på cirkeln.

(cos v, sin v) ligger p \overset{a}{˚} enhetscirkeln

Radianer

Vinkelmått där 360° = 2π rad. 90° = π/2, 180° = π, 30° = π/6.

18 0^{\circ} = π rad

Periodicitet

sin och cos har period 2π. tan har period π.

sin (v + 2 π) = sin v

Pythagoreiska identiteten

För alla vinklar v gäller följande grundläggande identitet.

sin^{2} v + cos^{2} v = 1

Metod

Så här löser du

1Vid trigonometrisk ekvation: hitta en lösning, använd sedan periodicitet för alla.
2För sin x = a: x = arcsin(a) + n·2π eller x = π − arcsin(a) + n·2π.
3För cos x = a: x = ±arccos(a) + n·2π.
4Vid omvandling: 180° = π rad. Vinkel i radian = vinkel i grader · π/180.

Räknat exempel

Huvudexempel

Problem

Lös ekvationen sin x = 1/2 i intervallet 0 ≤ x ≤ 2π.

Steg för steg

1
$x_{1} = \frac{π}{6}$
Exakt värde: sin 30° = 1/2 → 30° = π/6.
2
$x_{2} = \frac{5 π}{6}$
sin är symmetrisk runt π/2: sin(π − v) = sin v.
3
Båda ligger i [0, 2π]. Inga fler lösningar i detta intervall.
Period 2π — nästa lösningar ligger utanför intervallet.

Svar

x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}

x = π/6 och x = 5π/6.

Rimlighet: Båda värden är i första halvplanet (0 till π) där sin > 0. Stämmer med sin x = +1/2.

Testa dig själv

Quiz

Ett kort quiz på trigonometri och enhetscirkeln, fem frågor.

Starta quiz →

Öva

Testa själv

Övningsexempel, försök själv

Räkna om 60° till radianer.

Undvik fällorna

Vanliga fel

Fel

Skriver att sin x = 1/2 har bara EN lösning i [0, 2π].

Rätt

Två lösningar: x = π/6 och x = 5π/6 (sin är symmetrisk runt π/2).

Varför: Enhetscirkeln visar att sin = 1/2 inträffar både i första och andra kvadranten.

Fel

Förväxlar radianer och grader: skriver π i miniräknaren när du menar 180°.

Rätt

På Matte 4 är radianer standard. Räkna om vid behov: grader · π/180.

Varför: Trigonometriska identiteter och derivator antar radianer. Ger fel svar i grad-läge.

Kunskapstrappan

← Repetera grunden (Gymnasiet)

Trigonometri i rätvinkliga trianglar

Sin, cos och tan i rätvinkliga trianglar. Lös triangelsidor och vinklar med exakta värden 30°, 45°, 60°.

Högsta nivå, bra jobbat!

Följ mig för fler genomgångar

YouTube TikTok