Vanligt fel: Skriver (fg)' = f'·g' (utelämnar de blandade termerna).

Produktregeln: (fg)' = f'g + fg'. Två termer. Vanligaste algebra-felet i Matte 4. Utveckla regeln för att se varför f'g' är fel.

🔗

∂ Matte 4 — Derivata

Derivata av sammansatta funktioner

Q: Vanligt fel: Glömmer den inre derivatan vid kedjeregeln: skriver d/dx sin(3x²) = cos(3x²).

Måste multiplicera med inre derivatan: cos(3x²) · 6x. Kedjeregeln har TVÅ delar: yttre derivata + inre derivata. Glöm inte den inre.

Kedjeregeln, produktregeln och kvotregeln. Derivera trigonometriska, exponentiella och logaritmiska funktioner.

🎬 Video kommer. Genomgång planeras — följ kanalen.

Centralt innehåll – ämnesplan Matematik 1

Derivatan av sammansatta funktioner, produkter och kvoter. Trigonometriska funktioners derivator.

📖 Begrepp och regler

Kedjeregeln

Derivatan av en sammansatt funktion: derivera ytterst gånger derivatan av innerst.

\frac{d}{d x} f (g (x)) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

Produktregeln

För f·g: derivera ena, multiplicera med andra, byt och addera.

(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}

Kvotregeln

För f/g: täljarens derivata gånger nämnaren minus täljaren gånger nämnarens derivata, allt över nämnaren i kvadrat.

(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}

Trigonometriska och exponentiella derivator

(sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x, (eˣ)' = eˣ, (ln x)' = 1/x.

\frac{d}{d x} sin x = cos x

🪜 Så här löser du

1Identifiera funktionens struktur — sammansatt, produkt eller kvot?
2Vid sammansatt: bestäm yttre och inre. Använd kedjeregeln.
3Vid produkt eller kvot: använd respektive regel.
4Förenkla resultatet om möjligt.
5Kontroll: vid x = 0 (eller annat enkelt värde), stämmer det?

🧮 Huvudexempel

Problem

Derivera f(x) = sin(3x²).

Steg-för-steg-lösning

1
Sammansatt: yttre = sin(u), inre = u = 3x².
↳ Identifiera struktur. Det här är f(g(x)).
2
$f^{'} (u) = cos u, g^{'} (x) = 6 x$
↳ Derivera yttre och inre var för sig.
3
$f^{'} (x) = cos (3 x^{2}) \cdot 6 x$
↳ Kedjeregeln: yttre vid g(x) gånger inre derivat.
4
$= 6 x cos (3 x^{2})$
↳ Skriv om i lättläst form.

Svar

f^{'} (x) = 6 x cos (3 x^{2})

f'(x) = 6x · cos(3x²).

✓ Rimlighet: Vid x = 0: f'(0) = 0 · cos(0) = 0. Funktionen sin(3x²) har en stationär punkt vid x = 0 (där 3x² = 0). Stämmer.

📝 Quiz – testa dig själv

Ta ett kort quiz på derivata av sammansatta funktioner – fem frågor.

Starta quiz →

✍️ Testa själv

Övningsexempel — försök själv

Derivera g(x) = x² · eˣ med produktregeln.

⚠️ Vanliga fel

✗ Fel

Glömmer den inre derivatan vid kedjeregeln: skriver d/dx sin(3x²) = cos(3x²).

✓ Rätt

Måste multiplicera med inre derivatan: cos(3x²) · 6x.

Varför: Kedjeregeln har TVÅ delar: yttre derivata + inre derivata. Glöm inte den inre.

✗ Fel

Skriver (fg)' = f'·g' (utelämnar de blandade termerna).

✓ Rätt

Produktregeln: (fg)' = f'g + fg'. Två termer.

Varför: Vanligaste algebra-felet i Matte 4. Utveckla regeln för att se varför f'g' är fel.

🪜 Kunskapstrappan

← Repetera grunden (Gymnasiet)

∂Derivata och deriveringsregler

Derivatans definition (gränsvärde av differenskvot) och deriveringsregler för polynom, potens- och konstantfunktioner.

Högsta nivå — bra jobbat!

← Föregående

Trigonometri och enhetscirkeln

Nästa →

Integraler — substitution och tillämpningar

← Tillbaka till alla moment

Följ mig för fler genomgångar

YouTube TikTok