Vanligt fel: Skriver d/dx(7) = 7.

d/dx(7) = 0. Derivata av konstant = 0. En konstant ändras inte — förändringshastigheten är 0.

Matte 3 — Derivata

Derivata och deriveringsregler

Derivatans definition (gränsvärde av differenskvot) och deriveringsregler för polynom, potens- och konstantfunktioner.

Centralt innehåll · ämnesplan Matematik 1

Egenskaper hos polynomfunktioner. Derivatans definition. Derivatan av polynom och enkla rationella funktioner.

Grunderna

Begrepp och regler

Derivatans definition

Gränsvärdet av differenskvoten när h går mot 0. Beskriver hur snabbt funktionen förändras i en punkt.

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

Potensregeln

Multiplicera ned exponenten, sänk exponenten med 1.

\frac{d}{d x} (x^{n}) = n \cdot x^{n - 1}

Linjäritet

Derivatan av summa = summa av derivatorna. Konstanten dras inte med i derivering.

(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}, (c f)^{'} = c f^{'}

Konstantens derivata

Derivatan av en konstant är 0.

\frac{d}{d x} (c) = 0

Metod

Så här löser du

1Skriv funktionen som polynom: f(x) = a·xⁿ + b·x^(n−1) + ...
2Använd potensregeln på varje term separat (linjäritet).
3En konstantterm försvinner (derivata av konstant = 0).
4Skriv derivatan f'(x) som ett nytt polynom.
5Sätt in värde om uppgiften söker derivatans värde i en specifik punkt.

Räknat exempel

Huvudexempel

Problem

Derivera f(x) = 3x⁴ − 2x³ + 5x − 7.

Steg för steg

1
Derivera term för term med potensregeln.
Linjäritet: f'(x) = (3x⁴)' − (2x³)' + (5x)' − (7)'.
2
$\frac{d}{d x} (3 x^{4}) = 12 x^{3}$
Multiplicera ner 4, sänk exponenten till 3.
3
$\frac{d}{d x} (2 x^{3}) = 6 x^{2}$
Multiplicera ner 3, sänk till 2.
4
$\frac{d}{d x} (5 x) = 5$
x¹ → 1·x⁰ = 1, så 5·1 = 5.
5
$\frac{d}{d x} (- 7) = 0$
Konstant derivat = 0.
6
$f^{'} (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} + 5$
Sätt ihop alla termer.

Svar

f^{'} (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} + 5

f'(x) = 12x³ − 6x² + 5.

Rimlighet: Polynom av grad n får derivata av grad n−1. Här grad 4 → grad 3. ✓

Testa dig själv

Quiz

Ett kort quiz på derivata och deriveringsregler, fem frågor.

Starta quiz →

Öva

Testa själv

Övningsexempel, försök själv

Derivera g(x) = x³ − 3x och beräkna g'(2).

Undvik fällorna

Vanliga fel

Fel

Skriver d/dx(x³) = x² (glömmer multiplicera ner exponenten).

Rätt

d/dx(x³) = 3x². Potensregeln: multiplicera ner exponenten, sänk med 1.

Varför: Glömmer halva regeln. "Sänk exponenten" är bara hälften av jobbet.

Fel

Skriver d/dx(7) = 7.

Rätt

d/dx(7) = 0. Derivata av konstant = 0.

Varför: En konstant ändras inte — förändringshastigheten är 0.

Kunskapstrappan

Grundläggande nivå, börja här

Nästa nivå (Gymnasiet) →

Derivata av sammansatta funktioner

Kedjeregeln, produktregeln och kvotregeln. Derivera trigonometriska, exponentiella och logaritmiska funktioner.

Följ mig för fler genomgångar

YouTube TikTok