Samband och förändring

Proportionalitet och procentuell förändring

Q: Vanligt fel: Räknar 3 % ränta i 5 år som 5 · 3 = 15 % ökning, dvs slutvärde = 10 000 · 1,15.

10 000 · 1,03⁵ ≈ 11 593 kr (ca 15,9 % ökning). Sammansatt ränta ger ränta på räntan — multiplicera förändringsfaktorerna istället för att addera procent.

Direkt proportionalitet, procentuell förändring över flera perioder och förändringsfaktorer.

Video

Video kommer snart. En genomgång av detta moment är planerad, följ kanalen för att se när den publiceras.

Centralt innehåll · Lgr22

Procent för att uttrycka förändring och förändringsfaktor samt beräkningar med procent i vardagliga situationer och i situationer inom andra ämnesområden.

Grunderna

Begrepp och regler

Direkt proportionalitet

y och x är direkt proportionella om y = k·x. Grafen är en rät linje genom origo. Dubblas x dubblas y.

y = k \cdot x

Förändringsfaktor

Vid procentuell ökning eller minskning: multiplicera med förändringsfaktorn istället för att räkna procentuellt steg för steg.

\overset{o}{¨} ka p % : k = 1 + \frac{p}{100}

Sammansatt ränta

Vid återkommande förändring under n perioder: upphöj förändringsfaktorn till n.

slutv \overset{a}{¨} rde = startv \overset{a}{¨} rde \cdot k^{n}

Metod

Så här löser du

1Identifiera om sambandet är proportionellt (linjärt genom origo) eller procentuellt (multiplikativt).
2För proportionalitet: räkna ut k = y/x ur en känd punkt.
3För procentuell förändring: räkna ut förändringsfaktor k.
4Vid återkommande förändring (ränta): upphöj k till antal perioder.
5Räkna ut och avrunda enligt frågan.

Exempel

Räknat exempel

Problem

Ett kapital på 10 000 kr placeras till 10 % årlig ränta (sammansatt). Hur mycket finns på kontot efter 2 år?

Steg för steg

1
$k = 1 + \frac{10}{100} = 1, 1$
Vid 10 % ränta multipliceras saldot med 1,1 varje år.
2
$S_{1} = 10000 \cdot 1, 1 = 11000$
10 % av 10 000 är 1 000 — så saldot blir 10 000 + 1 000.
3
$S_{2} = 11000 \cdot 1, 1 = 12100$
10 % av 11 000 är 1 100. Saldot blir 11 000 + 1 100.
4
$S_{2} = 10000 \cdot 1, 1^{2} = 10000 \cdot 1, 21 = 12100$
Att upphöja förändringsfaktorn ger samma svar — formeln är en genväg.

Svar

S_{2} = 12100 kr

På kontot finns 12 100 kr efter 2 år.

Rimlighet En total ökning på 21 % (12 100 / 10 000 = 1,21) är mer än 2·10 = 20 % eftersom räntan ger ränta på räntan — extra 100 kr beror just på det.

Testa dig själv

Quiz

Ta ett kort quiz på proportionalitet och procentuell förändring, fem frågor som går att lösa utan miniräknare. Bra koll på hur det sitter inför provet.

Starta quiz

Öva

Testa själv

Övningsexempel, försök själv

3 kg äpplen kostar 45 kr. Hur mycket kostar 7 kg, om priset är direkt proportionellt mot vikten?

Fallgropar

Vanliga fel

Fel

Räknar 3 % ränta i 5 år som 5 · 3 = 15 % ökning, dvs slutvärde = 10 000 · 1,15.

Rätt

10 000 · 1,03⁵ ≈ 11 593 kr (ca 15,9 % ökning).

Varför: Sammansatt ränta ger ränta på räntan — multiplicera förändringsfaktorerna istället för att addera procent.

Fel

Antar proportionalitet i alla fall där det finns ett samband — t.ex. taxi med startavgift.

Rätt

Pris med startavgift är linjärt (y = kx + m) men inte proportionellt eftersom grafen inte går genom origo.

Varför: Direkt proportionalitet kräver att y = 0 när x = 0. Startavgift bryter det villkoret.

Träna

Öva på gamla prov

Alla tillgängliga åk 9-prov

Nationella Prov Åk 9 Matematik 2019

Nationella Prov Åk 9 Matematik 2018

Nationella Prov Åk 9 Matematik 2017

Nationella Prov Åk 9 Matematik 2016

Hela provarkivet

Kunskapstrappan

Grundläggande nivå, börja här

Nästa nivå (Gymnasiet) →

Procent och förändringsfaktor

Förändringsfaktor, procentuella beräkningar, sammansatt ränta och index. Vanligt på Matte 1 NP.

← Föregående

Skala och likformighet

Nästa →

Linjära funktioner och räta linjens ekvation

Tillbaka till alla moment

Följ mig för fler genomgångar

YouTube TikTok