🔁

📈 Samband och förändring

Proportionalitet och procentuell förändring

Q: Vanligt fel: Räknar 3 % ränta i 5 år som 5 · 3 = 15 % ökning, dvs slutvärde = 10 000 · 1,15.

10 000 · 1,03⁵ ≈ 11 593 kr (ca 15,9 % ökning). Sammansatt ränta ger ränta på räntan — multiplicera förändringsfaktorerna istället för att addera procent.

Direkt proportionalitet, procentuell förändring över flera perioder och förändringsfaktorer.

🎬 Video kommer snart. En genomgång av detta moment är planerad – följ kanalen för att se när den publiceras.

Centralt innehåll – Lgr22

Procent för att uttrycka förändring och förändringsfaktor samt beräkningar med procent i vardagliga situationer och i situationer inom andra ämnesområden.

📖 Begrepp och regler

Direkt proportionalitet

y och x är direkt proportionella om y = k·x. Grafen är en rät linje genom origo. Dubblas x dubblas y.

y = k \cdot x

Förändringsfaktor

Vid procentuell ökning eller minskning: multiplicera med förändringsfaktorn istället för att räkna procentuellt steg för steg.

\overset{o}{¨} ka p % : k = 1 + \frac{p}{100}

Sammansatt ränta

Vid återkommande förändring under n perioder: upphöj förändringsfaktorn till n.

slutv \overset{a}{¨} rde = startv \overset{a}{¨} rde \cdot k^{n}

🪜 Så här löser du

1Identifiera om sambandet är proportionellt (linjärt genom origo) eller procentuellt (multiplikativt).
2För proportionalitet: räkna ut k = y/x ur en känd punkt.
3För procentuell förändring: räkna ut förändringsfaktor k.
4Vid återkommande förändring (ränta): upphöj k till antal perioder.
5Räkna ut och avrunda enligt frågan.

🧮 Huvudexempel

Problem

Ett kapital på 10 000 kr placeras till 10 % årlig ränta (sammansatt). Hur mycket finns på kontot efter 2 år?

Steg-för-steg-lösning

1
$k = 1 + \frac{10}{100} = 1, 1$
↳ Vid 10 % ränta multipliceras saldot med 1,1 varje år.
2
$S_{1} = 10000 \cdot 1, 1 = 11000$
↳ 10 % av 10 000 är 1 000 — så saldot blir 10 000 + 1 000.
3
$S_{2} = 11000 \cdot 1, 1 = 12100$
↳ 10 % av 11 000 är 1 100. Saldot blir 11 000 + 1 100.
4
$S_{2} = 10000 \cdot 1, 1^{2} = 10000 \cdot 1, 21 = 12100$
↳ Att upphöja förändringsfaktorn ger samma svar — formeln är en genväg.

Svar

S_{2} = 12100 kr

På kontot finns 12 100 kr efter 2 år.

✓ Rimlighet: En total ökning på 21 % (12 100 / 10 000 = 1,21) är mer än 2·10 = 20 % eftersom räntan ger ränta på räntan — extra 100 kr beror just på det.

📝 Quiz – testa dig själv

Ta ett kort quiz på proportionalitet och procentuell förändring – fem frågor som går att lösa utan miniräknare. Bra koll på hur det sitter inför provet.

Starta quiz →

✍️ Testa själv

Övningsexempel — försök själv

3 kg äpplen kostar 45 kr. Hur mycket kostar 7 kg, om priset är direkt proportionellt mot vikten?

⚠️ Vanliga fel

✗ Fel

Räknar 3 % ränta i 5 år som 5 · 3 = 15 % ökning, dvs slutvärde = 10 000 · 1,15.

✓ Rätt

10 000 · 1,03⁵ ≈ 11 593 kr (ca 15,9 % ökning).

Varför: Sammansatt ränta ger ränta på räntan — multiplicera förändringsfaktorerna istället för att addera procent.

✗ Fel

Antar proportionalitet i alla fall där det finns ett samband — t.ex. taxi med startavgift.

✓ Rätt

Pris med startavgift är linjärt (y = kx + m) men inte proportionellt eftersom grafen inte går genom origo.

Varför: Direkt proportionalitet kräver att y = 0 när x = 0. Startavgift bryter det villkoret.

📥 Öva på gamla prov

Alla tillgängliga åk 9-prov:

Nationella Prov Åk 9 Matematik 2019

Nationella Prov Åk 9 Matematik 2018

Nationella Prov Åk 9 Matematik 2017

Nationella Prov Åk 9 Matematik 2016

Hela provarkivet →

🪜 Kunskapstrappan

Grundläggande nivå — börja här

Nästa nivå (Gymnasiet) →

%Procent och förändringsfaktor

Förändringsfaktor, procentuella beräkningar, sammansatt ränta och index. Vanligt på Matte 1 NP.

← Föregående

Skala och likformighet

Nästa →

Linjära funktioner och räta linjens ekvation

← Tillbaka till alla moment

Följ mig för fler genomgångar

YouTube TikTok