Matte 3 — Tillämpningar
Förändringshastighet
Derivatan som momentan förändringshastighet. Tillämpningar: hastighet, acceleration, kostnadsfunktioner.
Centralt innehåll · ämnesplan Matematik 1
Användning av derivata och primitiva funktioner i tillämpningar.
Grunderna
Begrepp och regler
Genomsnittlig förändringshastighet
Förändring i y delat med förändring i x över ett intervall. Sekantens lutning.
Momentan förändringshastighet
Derivatans värde i en punkt. Tangentens lutning.
Hastighet och acceleration
Om s(t) är sträckan så är s'(t) = v(t) hastigheten och s''(t) = a(t) accelerationen.
Metod
Så här löser du
- 1Genomsnittlig: (f(b) − f(a)) / (b − a).
- 2Momentan: derivera funktionen och sätt in tidpunkten.
- 3Tolka enheten: m/s för hastighet, kr/st för marginalkostnad osv.
- 4Tecken på derivata: positiv = ökar, negativ = minskar.
Räknat exempel
Huvudexempel
Problem
Sträckan i meter ges av s(t) = 2t² + 3t (t i sekunder). Vad är hastigheten vid t = 2 s?
Steg för steg
- 1
Hastighet är derivatan av sträcka.
- 2
Derivera 2t² + 3t med potensregeln.
- 3
Sätt in t = 2.
Svar
Hastigheten vid t = 2 s är 11 m/s.
Rimlighet: Vid t = 0 är hastigheten 3 m/s, vid t = 2 är den 11 m/s — ökar (positiv acceleration). Stämmer.
Testa dig själv
Quiz
Ett kort quiz på förändringshastighet, fem frågor.
Starta quiz →Öva
Testa själv
Övningsexempel, försök själv
En kostnadsfunktion är K(x) = x² + 10x kronor (x = antal enheter). Beräkna marginalkostnaden vid x = 5.
Undvik fällorna
Vanliga fel
Fel
Räknar genomsnittlig hastighet när uppgiften söker momentan.
Rätt
Momentan = derivata vid tidpunkten. Genomsnittlig = (slut − start) / tid.
Varför: Två olika begrepp. Läs noga vad uppgiften vill ha.
Kunskapstrappan