Vanligt fel: Antar att y' = 3y betyder y = 3x + C.

y = C·e^(3x). När y' är proportionell mot y (inte x) blir lösningen exponentiell. y' = 3y betyder hastigheten är proportionell mot mängden själv → exponentiell tillväxt.

🔬

∫ Matte 4 — Differentialekvationer

Differentialekvationer

Första ordningens linjära och separabla differentialekvationer. Tillämpningar inom tillväxt och avklingning.

🎬 Video kommer. Genomgång planeras — följ kanalen.

Centralt innehåll – ämnesplan Matematik 1

Differentialekvationer av första ordningen och deras lösningar. Användning för matematisk modellering.

📖 Begrepp och regler

Differentialekvation

En ekvation som innehåller en funktion och dess derivator.

y^{'} = f (x, y)

Separabel DE

När man kan skriva y' = f(x)·g(y), dvs separera variablerna.

\frac{d y}{g ( y )} = f (x) d x

Exponentiell tillväxt/avklingning

y' = ky → y = C·e^(kx). Klassisk modell för befolkning, radioaktiv avklingning.

y = C \cdot e^{k x}

🪜 Så här löser du

1Identifiera typ: separabel, linjär, eller annan?
2Vid separabel: separera variabler så x på ena sidan, y på andra. Integrera båda.
3Vid y' = ky (linjär första ordning, homogen): lösningen är y = C·e^(kx).
4Använd begynnelsevillkor (t.ex. y(0) = y₀) för att bestämma C.

🧮 Huvudexempel

Problem

Lös y' = 3y med villkoret y(0) = 5.

Steg-för-steg-lösning

1
$y = C e^{3 x}$
↳ Standardform för exponentiell tillväxt.
2
$C = 5$
↳ Sätt in begynnelsevärdet.
3
$y = 5 e^{3 x}$
↳ Sätt in C i allmän lösning.
4
Kontroll: y' = 5·3·e^(3x) = 15·e^(3x). 3y = 3·5·e^(3x) = 15·e^(3x) ✓
↳ Verifiera att y' = 3y stämmer.

Svar

y = 5 e^{3 x}

y = 5·e^(3x).

✓ Rimlighet: Vid x = 0: y = 5 (begynnelsevärdet). När x växer, växer y exponentiellt — som väntat med positiv k.

📝 Quiz – testa dig själv

Ta ett kort quiz på differentialekvationer – fem frågor.

Starta quiz →

✍️ Testa själv

Övningsexempel — försök själv

En befolkning på 1000 individer växer med 5 % per år. Skriv en differentialekvation och dess lösning.

⚠️ Vanliga fel

✗ Fel

Antar att y' = 3y betyder y = 3x + C.

✓ Rätt

y = C·e^(3x). När y' är proportionell mot y (inte x) blir lösningen exponentiell.

Varför: y' = 3y betyder hastigheten är proportionell mot mängden själv → exponentiell tillväxt.

✗ Fel

Skriver lösning utan att använda begynnelsevillkor.

✓ Rätt

Allmän lösning har en konstant C. Begynnelsevillkor bestämmer C.

Varför: Utan villkor är svaret en familj av lösningar, inte en specifik.

← Föregående

Integraler — substitution och tillämpningar

Nästa →

Komplexa tal

← Tillbaka till alla moment

Följ mig för fler genomgångar

YouTube TikTok