Matte 4 — Differentialekvationer
Differentialekvationer
Första ordningens linjära och separabla differentialekvationer. Tillämpningar inom tillväxt och avklingning.
Centralt innehåll · ämnesplan Matematik 1
Differentialekvationer av första ordningen och deras lösningar. Användning för matematisk modellering.
Grunderna
Begrepp och regler
Differentialekvation
En ekvation som innehåller en funktion och dess derivator.
Separabel DE
När man kan skriva y' = f(x)·g(y), dvs separera variablerna.
Exponentiell tillväxt/avklingning
y' = ky → y = C·e^(kx). Klassisk modell för befolkning, radioaktiv avklingning.
Metod
Så här löser du
- 1Identifiera typ: separabel, linjär, eller annan?
- 2Vid separabel: separera variabler så x på ena sidan, y på andra. Integrera båda.
- 3Vid y' = ky (linjär första ordning, homogen): lösningen är y = C·e^(kx).
- 4Använd begynnelsevillkor (t.ex. y(0) = y₀) för att bestämma C.
Räknat exempel
Huvudexempel
Problem
Lös y' = 3y med villkoret y(0) = 5.
Steg för steg
- 1
Standardform för exponentiell tillväxt.
- 2
Sätt in begynnelsevärdet.
- 3
Sätt in C i allmän lösning.
- 4Kontroll: y' = 5·3·e^(3x) = 15·e^(3x). 3y = 3·5·e^(3x) = 15·e^(3x) ✓
Verifiera att y' = 3y stämmer.
Svar
y = 5·e^(3x).
Rimlighet: Vid x = 0: y = 5 (begynnelsevärdet). När x växer, växer y exponentiellt — som väntat med positiv k.
Testa dig själv
Quiz
Ett kort quiz på differentialekvationer, fem frågor.
Starta quiz →Öva
Testa själv
Övningsexempel, försök själv
En befolkning på 1000 individer växer med 5 % per år. Skriv en differentialekvation och dess lösning.
Undvik fällorna
Vanliga fel
Fel
Antar att y' = 3y betyder y = 3x + C.
Rätt
y = C·e^(3x). När y' är proportionell mot y (inte x) blir lösningen exponentiell.
Varför: y' = 3y betyder hastigheten är proportionell mot mängden själv → exponentiell tillväxt.
Fel
Skriver lösning utan att använda begynnelsevillkor.
Rätt
Allmän lösning har en konstant C. Begynnelsevillkor bestämmer C.
Varför: Utan villkor är svaret en familj av lösningar, inte en specifik.