Matte 4 — Komplexa tal
Komplexa tal
Definition, rektangulär och polär form, multiplikation, division, komplexa rötter till andragradsekvationer.
Centralt innehåll · ämnesplan Matematik 1
Räkning med komplexa tal i rektangulär och polär form. Komplexa tal som lösningar till andragradsekvationer.
Grunderna
Begrepp och regler
Imaginära enheten
i² = −1. Komplexa tal har formen z = a + bi där a är realdelen och b imaginärdelen.
Rektangulär form
z = a + bi. Adderas och subtraheras komponentvis. Multipliceras med fördelning.
Modulus och argument
|z| = √(a² + b²) är avståndet till origo. Argumentet är vinkeln mot positiv reell axel.
Polär form
z = r(cos v + i sin v) där r = |z| och v = arg z.
Metod
Så här löser du
- 1Vid räkning med komplexa tal: behandla i som en variabel, men kom ihåg att i² = −1.
- 2Multiplikation: använd fördelningen och förenkla i² = −1.
- 3Division: multiplicera täljare och nämnare med konjugatet (a − bi för a + bi).
- 4Vid andragradsekvation med negativ diskriminant: lösningarna är komplexa konjugat.
Räknat exempel
Huvudexempel
Problem
Beräkna (2 + 3i)(1 − i).
Steg för steg
- 1
Multiplicera ihop alla par.
- 2
Räkna ut term för term.
- 3
Substituera i² = −1.
- 4
Slå ihop reella och imaginära delar.
Svar
(2 + 3i)(1 − i) = 5 + i.
Rimlighet: Resultatet är fortfarande komplext (har realdel 5 och imaginärdel 1). Stämmer för produkt av två komplexa tal.
Testa dig själv
Quiz
Ett kort quiz på komplexa tal, fem frågor.
Starta quiz →Öva
Testa själv
Övningsexempel, försök själv
Lös ekvationen z² + 4 = 0 i komplexa tal.
Undvik fällorna
Vanliga fel
Fel
Skriver i² = +1 (förväxlar med (−1)² = 1).
Rätt
i² = −1 (per definition av imaginära enheten).
Varför: i är roten ur −1. När du kvadrerar får du tillbaka −1.
Fel
Räknar (2 + 3i)(1 − i) = 2 − 3i (multiplicerar bara realdel × realdel).
Rätt
Använd fördelningen som vid (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
Varför: Komplexa tal följer vanliga räkneregler — bara att i² ska bytas mot −1.