Vanligt fel: Skriver i² = +1 (förväxlar med (−1)² = 1).

i² = −1 (per definition av imaginära enheten). i är roten ur −1. När du kvadrerar får du tillbaka −1.

🔢 Matte 4 — Komplexa tal

Komplexa tal

Definition, rektangulär och polär form, multiplikation, division, komplexa rötter till andragradsekvationer.

🎬 Video kommer. Genomgång planeras — följ kanalen.

Centralt innehåll – ämnesplan Matematik 1

Räkning med komplexa tal i rektangulär och polär form. Komplexa tal som lösningar till andragradsekvationer.

i² = −1. Komplexa tal har formen z = a + bi där a är realdelen och b imaginärdelen.

i^{2} = - 1

z = a + bi. Adderas och subtraheras komponentvis. Multipliceras med fördelning.

|z| = √(a² + b²) är avståndet till origo. Argumentet är vinkeln mot positiv reell axel.

∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}

z = r(cos v + i sin v) där r = |z| och v = arg z.

z = r (cos v + i sin v)

1Vid räkning med komplexa tal: behandla i som en variabel, men kom ihåg att i² = −1.
2Multiplikation: använd fördelningen och förenkla i² = −1.
3Division: multiplicera täljare och nämnare med konjugatet (a − bi för a + bi).
4Vid andragradsekvation med negativ diskriminant: lösningarna är komplexa konjugat.

Problem

Beräkna (2 + 3i)(1 − i).

Steg-för-steg-lösning

1
$2 \cdot 1 + 2 \cdot (- i) + 3 i \cdot 1 + 3 i \cdot (- i)$
↳ Multiplicera ihop alla par.
2
$= 2 - 2 i + 3 i - 3 i^{2}$
↳ Räkna ut term för term.
3
$- 3 i^{2} = 3$
↳ Substituera i² = −1.
4
$= 5 + i$
↳ Slå ihop reella och imaginära delar.

Svar

5 + i

(2 + 3i)(1 − i) = 5 + i.

✓ Rimlighet: Resultatet är fortfarande komplext (har realdel 5 och imaginärdel 1). Stämmer för produkt av två komplexa tal.

Ta ett kort quiz på komplexa tal – fem frågor.

Övningsexempel — försök själv

Lös ekvationen z² + 4 = 0 i komplexa tal.

✗ Fel

Skriver i² = +1 (förväxlar med (−1)² = 1).

✓ Rätt

i² = −1 (per definition av imaginära enheten).

Varför: i är roten ur −1. När du kvadrerar får du tillbaka −1.

✗ Fel

Räknar (2 + 3i)(1 − i) = 2 − 3i (multiplicerar bara realdel × realdel).

✓ Rätt

Använd fördelningen som vid (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

Varför: Komplexa tal följer vanliga räkneregler — bara att i² ska bytas mot −1.

← Föregående

Differentialekvationer