Geometri
Pythagoras sats
Räkna ut sidor i rätvinkliga trianglar med a² + b² = c².
Video
Video kommer snart. En genomgång av detta moment är planerad, följ kanalen för att se när den publiceras.
Centralt innehåll · Lgr22
Geometriska egenskaper hos dessa objekt samt avbildning och konstruktion av geometriska objekt. Likformighet och kongruens.
Grunderna
Begrepp och regler
Hypotenusa
Den längsta sidan i en rätvinklig triangel. Ligger alltid mittemot den räta vinkeln (90°).
Kateter
De två sidor som bildar den räta vinkeln. Kallas a och b.
Pythagoras sats
I en rätvinklig triangel är summan av kateternas kvadrater lika med hypotenusans kvadrat.
Metod
Så här löser du
- 1Kontrollera att triangeln är rätvinklig — annars gäller inte satsen.
- 2Identifiera hypotenusan (c, mittemot räta vinkeln) och kateterna (a, b).
- 3Sätt in värdena i a² + b² = c².
- 4Lös ut den okända sidan — glöm inte kvadratroten på slutet.
- 5Kontrollera att svaret är rimligt: hypotenusan ska alltid vara längst.
Exempel
Räknat exempel
Problem
En stege är 5 m lång och står lutad mot en vägg. Stegens fot är 3 m från väggen. Hur högt upp på väggen når stegen?
Steg för steg
- 1Stegen är hypotenusan (c = 5). Avståndet längs marken är ena kateten (b = 3). Höjden h är den andra kateten (a).
Stegen är längst — den ligger mittemot räta vinkeln mellan vägg och mark.
- 2
Pythagoras sats — gäller eftersom triangeln är rätvinklig.
- 3
Sätt in värdena.
- 4
Räkna ut kvadraterna i huvudet: 3² = 9 och 5² = 25.
- 5
Subtrahera 9 från båda leden.
- 6
Ta kvadratroten. √16 = 4 eftersom 4·4 = 16. Positivt värde — höjd kan inte vara negativ.
Svar
Stegen når 4 m upp.
Rimlighet Höjden (4 m) är mindre än stegens längd (5 m) ✓. Detta är ett klassiskt 3–4–5-triangel — sidorna 3, 4 och 5 är ett pythagoreiskt tripel som alltid bildar en rätvinklig triangel.
Testa dig själv
Quiz
Ta ett kort quiz på pythagoras sats, fem frågor som går att lösa utan miniräknare. Bra koll på hur det sitter inför provet.
Starta quizÖva
Testa själv
Övningsexempel, försök själv
En rätvinklig triangel har kateterna 9 cm och 12 cm. Hur lång är hypotenusan?
Fallgropar
Vanliga fel
Fel
Sätter c = 8 cm när kateterna är 6 och 10 cm.
Rätt
Hypotenusan är 10 cm — det är den längsta sidan. Då blir 6² + a² = 10² → a = 8.
Varför: Hypotenusan är alltid längst. Identifiera den först innan du sätter in i formeln.
Fel
Skriver c = c² = 100 och svarar "100 cm".
Rätt
c² = 100 → c = √100 = 10 cm.
Varför: Glöm inte kvadratroten i sista steget — annars får du arean av kvadraten istället för sidlängden.
Fel
Använder satsen på en triangel som inte har en rät vinkel.
Rätt
Pythagoras sats gäller endast för rätvinkliga trianglar. För andra trianglar krävs cosinussatsen (Matte 2).
Varför: Satsen bygger på areor av kvadrater på sidorna — det fungerar bara om en vinkel är 90°.
Träna
Öva på gamla prov
Specifika provuppgifter på detta moment
Nationella Prov Åk 9 Matematik 2019, Delprov B–D
Tillämpning av Pythagoras sats
Nationella Prov Åk 9 Matematik 2018, Delprov B–D
Rätvinklig triangel
Alla tillgängliga åk 9-prov
Nationella Prov Åk 9 Matematik 2019
Nationella Prov Åk 9 Matematik 2018
Nationella Prov Åk 9 Matematik 2017
Nationella Prov Åk 9 Matematik 2016
Mer
Vidare läsning
Kunskapstrappan