📐 Geometri
Pythagoras sats
Räkna ut sidor i rätvinkliga trianglar med a² + b² = c².
🎬 Video kommer snart. En genomgång av detta moment är planerad – följ kanalen för att se när den publiceras.
Centralt innehåll – Lgr22
Geometriska egenskaper hos dessa objekt samt avbildning och konstruktion av geometriska objekt. Likformighet och kongruens.
📖 Begrepp och regler
Hypotenusa
Den längsta sidan i en rätvinklig triangel. Ligger alltid mittemot den räta vinkeln (90°).
Kateter
De två sidor som bildar den räta vinkeln. Kallas a och b.
Pythagoras sats
I en rätvinklig triangel är summan av kateternas kvadrater lika med hypotenusans kvadrat.
🪜 Så här löser du
- 1Kontrollera att triangeln är rätvinklig — annars gäller inte satsen.
- 2Identifiera hypotenusan (c, mittemot räta vinkeln) och kateterna (a, b).
- 3Sätt in värdena i a² + b² = c².
- 4Lös ut den okända sidan — glöm inte kvadratroten på slutet.
- 5Kontrollera att svaret är rimligt: hypotenusan ska alltid vara längst.
🧮 Huvudexempel
Problem
En stege är 5 m lång och står lutad mot en vägg. Stegens fot är 3 m från väggen. Hur högt upp på väggen når stegen?
Steg-för-steg-lösning
- 1Stegen är hypotenusan (c = 5). Avståndet längs marken är ena kateten (b = 3). Höjden h är den andra kateten (a).
↳ Stegen är längst — den ligger mittemot räta vinkeln mellan vägg och mark.
- 2
↳ Pythagoras sats — gäller eftersom triangeln är rätvinklig.
- 3
↳ Sätt in värdena.
- 4
↳ Räkna ut kvadraterna i huvudet: 3² = 9 och 5² = 25.
- 5
↳ Subtrahera 9 från båda leden.
- 6
↳ Ta kvadratroten. √16 = 4 eftersom 4·4 = 16. Positivt värde — höjd kan inte vara negativ.
Svar
Stegen når 4 m upp.
✓ Rimlighet: Höjden (4 m) är mindre än stegens längd (5 m) ✓. Detta är ett klassiskt 3–4–5-triangel — sidorna 3, 4 och 5 är ett pythagoreiskt tripel som alltid bildar en rätvinklig triangel.
📝 Quiz – testa dig själv
Ta ett kort quiz på pythagoras sats – fem frågor som går att lösa utan miniräknare. Bra koll på hur det sitter inför provet.
Starta quiz →✍️ Testa själv
Övningsexempel — försök själv
En rätvinklig triangel har kateterna 9 cm och 12 cm. Hur lång är hypotenusan?
⚠️ Vanliga fel
✗ Fel
Sätter c = 8 cm när kateterna är 6 och 10 cm.
✓ Rätt
Hypotenusan är 10 cm — det är den längsta sidan. Då blir 6² + a² = 10² → a = 8.
Varför: Hypotenusan är alltid längst. Identifiera den först innan du sätter in i formeln.
✗ Fel
Skriver c = c² = 100 och svarar "100 cm".
✓ Rätt
c² = 100 → c = √100 = 10 cm.
Varför: Glöm inte kvadratroten i sista steget — annars får du arean av kvadraten istället för sidlängden.
✗ Fel
Använder satsen på en triangel som inte har en rät vinkel.
✓ Rätt
Pythagoras sats gäller endast för rätvinkliga trianglar. För andra trianglar krävs cosinussatsen (Matte 2).
Varför: Satsen bygger på areor av kvadrater på sidorna — det fungerar bara om en vinkel är 90°.
📥 Öva på gamla prov
Specifika provuppgifter på detta moment:
Nationella Prov Åk 9 Matematik 2019 – Delprov B–D
Tillämpning av Pythagoras sats
Nationella Prov Åk 9 Matematik 2018 – Delprov B–D
Rätvinklig triangel
Alla tillgängliga åk 9-prov:
Nationella Prov Åk 9 Matematik 2019
Nationella Prov Åk 9 Matematik 2018
Nationella Prov Åk 9 Matematik 2017
Nationella Prov Åk 9 Matematik 2016